DEL1 kome i gang att. (til DEL2).

Då eg starta opp bloggen igjen mellom jul og nyttår, sa eg til meg sjøl. Har det skjedd noko sidan sist? Ja det hadde det, men ikkje så mykje som hadde med mjuk matematikk å gjere. Så eg hadde vel eigentleg mist litt av kontrollen med tida. Men å seie at det ikkje hadde skjedd noko sidan siste blogg er sikkert ikkje heilt rett likevel.

Men det eg då var mest spent på,  var kva som ville komme i denne omgangen. Om du hadde gått ei tid tilbake, så hadde eg visst det straks eg kom til å tenkje tanken, men no måtte eg nok meditere litt før eg kom i gang att.

La oss difor ta det frå starten av. Ein ting vi då gjorde, var å trekkje fram teljetala og det å telje eller seie tala etter kvarandre. Vi starta først med 1 og så endra vi på dette og starta i staden teljinga med 0. Altså vi starta så å seie med to tome hender. Men hovudet var ikkje tomt, så difor kom vi oss vidare.

I dei siste bloggane har vi halde på med Peanos aksiomar og vi så på desse som den kortast mogelege måten å oppsummere kva vi meiner med teljetala, (også kalla dei naturlege tala). La oss ta det på nytt ganske raskt.

Men vi så at desse fire punkta er for få til at tala blir fullt ut bestemte. Vi ville ha ein kortast mogeleg oppsummering av korleis tala er. Men berre å liste opp desse fire punkta vart altså for knapt. For ikkje å få falske tal med, så trong vi eitt punkt til, slik at vi fekk avgrensa tala til akkurat dei vi ville ha. Dette femte punktet var tema for det førre blogginnlegget.

DEL2 alternativer for aksiom 5. (til DEL3).Då er vi i gang. Men punktet “For det femte” her var litt annleis enn punkt 5 slik vi skreiv fyrste gongen. Den opphavlege utsegna var litt vag med tanke på at ho skulle vere utgangspunkt for matematikk. Men i det førre blogginnlegget klarte vi av kva vi meinte med denne opphavlege formuleringa og sette opp ei formulering slik som den vi gav her i “For det femte”.

I det førre innlegget gav vi då totalt tre nye utsegner. Desse fortalte det vi ville ha fram på tre ulike måtar. Kvar av dei kasta sitt ljos over saka. Vi listar opp alle desse utsegnene her, med den opphavelege som nummer 0. Og som vi har gjort før, vi brukar bokstaven N som symbol for dei tala vi vil karakterisere med dei 5 aksioma.

1. (0)  N er den minst omfattande mengda som stettar 1-4
2. (1)  det fins inga ekte delmengd av N som stettar dei 4 første aksioma
3. (2)  hvis S er ei delmengd av N som stettar dei 4 første aksioma, så har vi at S = N
4. (3) hvis S er ei delmengd av N, og 0 er i S og S inneheld alle etterfølgjarane sine, så er S = N

Vi repeterer no på ein meir lettflytande måte korleis desse utsegnene heng i hop. Men før vi set i gong bør du ha klårt for deg skilnaden på kva det vil seie at ei mengd er ei delmengd av ei mengd og kva det vil seie at ei mengd er ei ekte delmeng av ei mengd.

Denne skilnaden tok vi nøye for oss i det førre innlegget. At A er ei delmengd av B, vi skriv det slik: A ⊆ B, tyder at kvart element i A også er med i B. Men når vi veit dette om A og B og ikkje noko meir, så er det ikkje utelukka at A = B. Derimot om vi veit at A er ei ekte delmeng av B, A ⊂ B, så gjeld det også at kvart element i A er med i B, men den situasjonen at A = B er no utelukka.

Så ei ekte delmengd er alltid ei delmengd, men det fins delmengder som ikkje er ekte delmengder.

Så til saka. Vi ville forklare samanhengen mellom utsegnene (0) – (3).

Utsegna merkt med (0) er meir ei poetisk utsegn enn det er ei matematisk utsegn. Det er formuleringa ‘den minst omfattande’ som gjer at vi kallar henne poetisk og ikkje matematisk. Så til utsegna merkt med (1). Det er ei matematisk utsegn som fortel det vi ville seie med (0).

Vidare, sjå på (1). At det ikkje fins noka ekte delmengd av N som stettar 1-4, fortel oss at om ein person seier at han har ei delmengd av N som stettar 1-4, og det han seier er sant, så er denne delmengda lik heile N, for ho kan jo ikkje vere ei ekte delmengd av N. Så av (1) følgjer (2).

Sjå så på utsegna i (2). Av denne følgjer (1), for om (1) ikkje er rett, så fins det ei ekte delmeng av N som stettar 1-4. Men ei ekte delmengd er og ei delmeng, så då seier (2) at denne ekte delmenga er lik heile N. Men det veit vi ikkje går an. Ei ekte delmeng av ei mengd kan ikkje vere heile mengda. Så av (2) følgjer (1).

Altså, dei to utsegnene (1) og (2) er ekvivalente *1).

Dinest ser vi på samanhengen mellom (2) og (3) og vi ser då lett at (2) følgjer av (3). For om premissane til (2) er oppfylde, dvs S⊆N og S stettar 1-4, så er jo 0 i S, (aksiom 1) og alle tala i S har etterfølgjaren sin i S, (aksiom 2). Men då er jo premissane i (3) oppfylde slik at vi får S = N.

La oss så starte med at vi veit at (3) er tilfelle. Så hvis S ⊆ N og 0 er i S og S inneheld alle etterfølgjarane sine *2), så stettar S i alle fall dei to første aksioma. Men aksiom 3 og 4 er jo og stetta for hvis eit tal er i S, så er dette talet også i N, og tala i N stettar jo 3-4. Premissane i (2) er dermed oppfylde, så vi får dermed at S = N. Med andre ord, av (3) følgjer (2).

Så då har vi funne ut at (2) og (3) også er ekvivalente. Desse to utsegnene seier akkurat det same.

DEL3 svar på den første utfordringa frå sist gong. (til DEL4).

Det er den siste utgåva av aksiom 5 som er den som du oftast vil sjå om du kikkar i elementære matematikkbøker *3). Det er den som er best eigna når vi skal bruke aksiom 5 til å vise ting. Og det var også den vi brukte i det førre innlegget då vi skulle gje eit døme på å bruke aksiom 5.

Men vi forklarte ikkje der heilt ut det vi gjorde. Det var eitt reknestykke vi ikkje forklarte, men berre skreiv opp. Det var dette:

(*)   0 + a’ = (0 + a)’ = a’ (a er her eit vilkårleg teljetal |som oppfyller formelen 0 + a = a|.)

Vi fekk dette problemet i fanget då vi skulle vise at formelen 0 + a = a er rett for alle teljetal a, og vi skulle nytte aksiom 5 til å vise det.

Forklåringa på kvifor (*) er rett, er ikkje komplisert. Så om ho kjennest vanskeleg, så er det fordi det er nye tankar med i biletet.

Vi tek det detaljert og nummererer likningane vi får under forklaringa og til høgre for kvar likning skriv vi ei grunngjeving for nettopp denne likninga.

(1)  0 + a’ = (0 + a)’    (pga definisjonen av kva det vil seie å addere)

(2)  0 + a = a                (det er fordi det er slik a skulle vere)

(3)  (0 + a)’ = a’    (pga (2) og det at eit og same tal ikkje har to etterfølgjarar)

Så tek vi med ein konklusjon til

(4)  0 + a’ = a’    pga (1) og (3), for når A = B og B = C, så er A = C, bmk *4)

Det vi her gjorde i (1) – (3) var å ta for oss dei to likskapsteikna i (*) og gje grunn for kvifor dei var riktige. Kvifor er det første likskapsteiknet i (*) rett? Altså kvifor er 0+a’=(0+a)’? Det forklarte vi i (1).

Dinest, kvifor er det rett å skrive ‘=’ mellom dei to siste uttrykka. Altså kvifor kan vi skrive (0+a)’=a’? Her treng vi å grunngje i to omgongar. Det har vi gjort i (2) og (3).

Vi tek det ein gong til meir langsomt. Altså kvifor er (0+a)’=a’? Jo, for det første så har vi at 0+a=a. For det var slik a var. At vi så i neste omgang får at (0+a)’ = a’ er fordi 0+a og a er eitt og same tal. Og kvart tal har ein og berre ein etterfølgjar. Difor får vi (0+a)’=a’.

Så i (1) – (3) har vi vist at (*) er rett.

Men kva skal vi så med (4)? Jo, vi hekta det på fordi det vi eigentleg ville vise med (*), var at når 0+a = a, så gjeld den same formelen for etterfølgjaren til a, og etterfølgjaren til a er jo den vi skriv som a’. Altså vi skulle syne at 0+a’ = a’. Det er det (4) fortel oss.

I grunngjevinga for (1) viste vi til definisjonen av ‘+’. Den tok vi føre oss i (– leksjon–). Og tanken bak definisjonen var at om vi til eit tal (her 0) legg eit tal (her a’), så får vi det same resultatet hvis vi først legg til talet framfor det talet vi skulle legge til, (her a), og så tek etterfølgjaren av dette resultatet.

Konkrete eksempel frå elementær rekning: 2+4 = (2+3)’ idet altså 4=3′, og 5+3 = (5+2)’ med di 3=2′.

DEL4 svar på den siste utfordringa. (til DEL5).

Den neste utfordringa vi fekk i førre innlegg var å vise at alle teljetala utanom 0 er ein etterfølgjar. Det skulle vi vise ved å nytte aksiom 5.

For å nytte aksiom 5 for å vise noko, så 0) vel vi oss ei mengd S *6) som er ei delmengd av N. Så 1) viser vi at 0 er med i S og 2) at S i tillegg inneheld alle etterfølgjarane sine. Aksiom 5 seier då at S er lik heile N.

Når vi seier at S inneheld alle etterfølgjarane sine, så tenker vi på det at etterfølgjaren til kvart tal i S også er med i S. Å vise dette vil jamnt gå føre seg slik: tenk deg at a er eit tal i S. Av dette (dvs av den eller dei eigenskapane som a då har) skal du så vise at også a’ er i S.

Eg sa i førre innlegg at vi kunne velje S = {0} ∪ F *5), der F var mengda av alle tala i N som var ein etterfølgjar. Så då har vi gjort unna punkt 0). Så spør vi, 1) vil vi ha at 0 er i S? Ja, for 0 er jo element i {0}. og dermed er 0 også element i {0} ∪ S.

Så tek vi fatt på det siste punktet, punkt 2).

La då a vere eit tal i S, kva tal som helst i S. Så spør vi om a’, etterfølgjaren til a, også er i S. Svaret på det er jo eit opplagt ja. For kva tyder det at eit tal er i S? Jo, anten at talet er 0, dvs talet er i {0} eller at det er ein etterfølgjar, dvs i F. Og a’ er jo etterfølgjaren til a, så a’ er ein etterfølgjar. Dermed er altså a’ i F. Men då er jo a’ i S også, for S er jo unionen av {0} og F.

Konklusjonen er då at S er lik heile N. Men ettersom S = {0} ∪ F så er altså {0} ∪ F = N og med di 0 ikkje er med i F, (0 er ikkje ein etterfølgjar), så

(1) må altså F vere mengda av alle tala utanom 0.

(2) Men F var jo definert som mengda av alle tal som er etterfølgjarar.

Altså alle tal som ikkje er 0 er ein etterfølgjar. Det var det vi ville vise.

Det vi her gjorde var å skrive ned i detalj korleis vi kan vise at alle teljetala utanom 0 kjem etter eit teljetal, (er ein etterfølgjar). Ingen ville vel tru at det var annleis, for vi kjenner jo tala frå før. Men korleis ville vi gjere det om vi ikkje skulle bruke aksiom 5?

Vi skal sjå på det like nedanfor, men først vil eg berre setje opp beviset uten alle detaljane som eg her skreiv. For det kan gjerast ganske kort om du sjøl kan supplere den tenkinga som trengs.

(1) Vi definerer F som mengda av alle etterfølgjarar av teljetal og set S = {0} U F.
(2) Då ser vi at 0 er i S.
(3) La så a ∈ S. Da vil a’ vere ein etterfølgjar av eit tal i S og per definisjon tilhøyre F, altså a’ er i S.

Med andre ord  S = N, slik at F = N − {0}. Og det var dette vi ville vise, OK!

Vi nytta her notasjonen A − B der A er ei mengd og B er ei mengd. Og med A – B meiner vi alle elementa som er i A, men som ikkje er i B. Altså, for å få A – B, så startar vi med A og tek så bort alle elementa i A som også er i B. Det blir kalla for ein mengdedifferens.

Dette var jo mykje kortare. Korte bevis som er skrivne lange, (dvs mange detaljar blir tekne med), kan nokre gongar vere vanskelegare å få med seg enn kortskrivne bevis fordi du blir utolmodig etter å kome til det punktet som du treng meir tid på å fordøye. Dermed blir du uroa i lesinga.

Men det kan vere like gale at eit bevis er for kort til at du kan ta det til deg på rimeleg tid. Men sjølsagt, “til lags åt alle kan ingen gjera”.

DEL5 bevis utan aksiom5?  (til SLUTTORD)

Men så til det eg lovde lenger oppe, å sjå på korleis vi kan vise at alle teljetala utanom 0 er etterføljartal, utan å bruke aksiom 5. Vi er overtydd om at det er slik teljetala er, for det er jo rett og slett slik vi oppfattar dei. Men å vise (bevise) noko som er innlysande for ein, kan synest litt toskut eller i alle fall heilt unødvendig. Nokre gongar kan det og stengje for forståinga.

Men om vi likevel skulle prøve, så vil det bli vanskeleg, for vi vil vere i beit for korleis vi skal handsame det. For skal vi vise at noko er slik eller slik, så må vi ha noko å vise til, noko å slå i bordet med. Vi må ha argument og ikkje berre synest eller kjenne på korleis det er.

Men la oss prøve. Vi spør. Kan det tenkjast at det fins eit teljetal som vi ikkje kjem til når vi tel, altså eit tal som ikkje har noko tal framfor seg? Det må vi svare nei til, for det er jo nett slik teljetala er.

For lat oss starte med 0. Då veit vi at etter 0 kjem 1, etter 1 kjem 2 osb. Så vi kjem altså aldri fram til noko tal som ikkje er neste tal i rekkja. Teljetala er jo ettopp dei vi kjem fram til etter kvart som vi tel.

Men kva er galt med dette? Jo, problemet her er at vi seier ‘osb’, og så bortetter. Kva tyder det? Det kan ha ei klår meining for eit menneske, men det har ikkje så klår matematisk meining. Prøv å forklare kva ‘osb’ tyder. Du kan sei: det betyr at vi fortset på same viset heile tida. OK, men kva er ‘på same viset’ og kva tyder ‘heile tida’?

Dette er utsegner som er godt eigna når vi skal danne oss eit bilete av matematiske tilhøve. Men som matematikk duger dei ikkje. For då skal alt vere krystallklart. Vi skal ikkje trenge å byggje på ein diffus forståing eller intuisjon.

SLUTTORD.   (til ETTERORD)

Det som gjer det heile vanskeleg er uendelegheita. For det fins uendeleg mange teljetal. Eller fins det uendeleg mange teljetal? Kanskje det ikkje gjer det. Men før vi kan svare, så må vi vite kva vi meiner med uendeleg mange.

Og det bør vi ta litt nøye. Uendelege mengder er ikkje heilt som endelege mengder. Til dømes er det slik at om du har ei mengd med uendeleg mange element, og du tek bort eit element, så vil den mengda du då sit att med ha like mange element som den du først hadde.

Så når vi skal handsame uendeleg, så duger ikkje vanleg intuisjon. For det er ikkje noko tilvarande i dagleglivet til eit menneske. Det fins ikkje noko tilsvarande i dei røynslene som eit menneske gjer seg i eit vanleg liv.

Men om du er matematikar, så har du omgått desse problema meir enn berre lauseleg, så du vil kunne opparbeide deg intuisjon også for slike ting. Men då må du ha noko effektivt å arbeide med, for elles kan det lett bli at du berre surrar ikring som ei floge. Det er ikkje då nok berre å vere ein vanleg kvardagsfilosof.

Det vi treng er ei fast forankring i eit klart utgangspunkt, forankring i eit sett med aksiomar. Det er som med spel og reglar, utan tydelege reglar blir det lett kaos eller usemje. Og dinest treng vi ein klår logikk. Det igjen fordrar at vi har eit enkelt språk som er rikt nok til å uttrykkje det vi treng. Det er eit slikt språk at aksioma må skrivast i.

Og så må vi også nytte definisjonar for å lette måten å samtale om dei tinga som meir eller mindre direkte ligg nedfelt i aksioma.  (Definisjonar gjer vi oss og nytte av i dagleglivet, om enn ikkje så presise og utvitydige som i matematikk. I staden for å sei “Hent den reiskapen med tindar  som vi nyttar til å flytte høy med!, så seier vi berre “Hent høygaffelen”.)

I dei fem peanoaksioma som vi skreiv opp, så nytta vi ikkje eit slikt språk som vi ymta om like ovanfor. Vi nytta naturleg språk, i vårt tilfelle norsk. Men vi drog inn eitt omgrep som ikkje fins i vanleg omgangsspråk, nemleg mengdeomgrepet. Dette hjalp oss til å halde ting betre i taume.

Og det var mengdeomgrepet vi nytta då vi viste at alle (telje)tala utanom 0 er etterfølgjaren til eit teljetal. Vi kunne då syne at mengda som til saman besto av 0 og alle teljetala som var etterfølgjarar, utgjorde alle teljetala. – Og det gjorde vi ved å nytte mengdelæra og vanleg logisk tankegang. Og sjølsagt, kva vi meinte med eit teljetal brukte vi også. Dette fortalde peanoaksioma oss. Det femte aksiomet her hadde vi uttrykt ved mengdeomgrep.

Det logiske språket vi snakka om lenger oppe, (for det er det som er det rette namnet på det språket som vi nemde lenger oppe), skal vi ikkje leggje fram til fulle. Og det er heller ikkje noko ein matematikar nyttar i arbeidet sitt. Han nyttar naturleg språk, men det er ispedd omgrep og seiemåtar med veldefinert innhald, og som er henta frå dette logiske språket *6). Det gjer det heile meir presist enn daglegspråket med sine omgrep.Vi skal ta for oss nokre av desse tankane i dei innlegga som kjem. Første sak ut er funksjonsomgrepet. Kjært barn har mange namn. Ordet funksjon er berre eit av dei namna som blir nytta om dette omgrepet. Men det rekkjer for oss så langt.

Det som vi (med fordel) kan endra i vår formulering av peanoaksioma er omgrepet etterfølgjar, det at kvart tal har ein etterfølgjar. Det kjem i neste innlegg slik planane mine er no. Vi skal då og vise at det fins uendeleg mange teljetal.

;
ETTERORD.

1. At N – {A} er ei ekte delmeng av N er jo opplagt, for A ∈ N, men A er ikkje element i N – {A}.
2. At elementa i N – {A} stettar aksioma 1- 4 er og klart.
   For det første, vi har ikkje gjort noko med  0.  Dermed er aksioma 1 og 4 oppfylde.  Og dinest: kvart element i N – {A} har ein etterfølgjar i N og denne etterfølgjaren er ikkje lik elementet A, altså kvart element i N – {A} har ein etterfølgjar i N – {A}. Dermed er aksiom 2 oppfyld. Til slutt eit og det same elementet i N – {A} kan ikkje vere etterfølgjar av to element i N – {A}, for desse to elementa ligg og i N, så då ville det elementet vi nemnde først vere eit element i N som var etterfølgjar av to element i N og det seier aksiom 3 ikkje er tilfelle.

Men då har vi fått ei sjølmotseiing. Vi har funne at den same tingen er både sann og usann. På den eine sida så seier aksiom 5 at det ikkje fins noka ekte delmengd av N som stettar dei fire første aksioma. På den andre sida så førte det at vi godtok at det finst eit tal ulik 0 som heller ikkje er ein etterfølgjar, til at det fanst ei ekte delmengd av N som stettar aksioma 1 – 4, sjå punkt 1) og 2) like ovanfor.Det vil vi ikkje gå med på. Feilen må då vere det som leia oss til punkt 1) og 2), og det var at vi gjekk ut frå at det fanst eit teljetal utanom 0 som heller ikkje var ein etterfølgjar. At det finst eit slikt tal må vi då seie frå oss. Utsegna i overskrifta på denne bloggen blir då ståande som sann.

Men det går an å ha tal som stettar dei fire første aksioma og som i tillegg til 0 har eit anna tal som ikkje er ein etterfølgjar. Her ligg kimen til dei tala som kallast transfinite tal.Det tyder, reint språkleg, tal som ligg bortanfor dei finite tala. Dei finite tala er dei endelege tala, dei som vi har hatt samkvem med sidan vi starta opp bloggen. Kvart endeleg tal kan vi altså nå ved å telje, berre vi held på lenge nok.

Men dei transfinite tala kan vi ikkje nå ved å telje. Men om vi har ein god kikkert, kan vi kanskje sjå dei? Å ta opp desse tala ligg heilt i det blå for oss slik stoda er no. Ja dei ligg faktisk bak alle blånar. Men kven veit kva som kan skje.

fotnotar
1)
Ordet ekvivalent tyder jamgod eller likeverdig. At to utsegner er ekvivalente tyder meir bestemt at når den eine utsegna er sann, så er og den andre det.

2)
Når vi snakkar om etterfølgjarane til ei mengd (her S), så tenkjer vi sjølsagt på etterfølgjarane til elementa i mengda.

3)
men ordlegginga er ein litt annan. Den gjev ei skildring av korleis du skal gå fram for å sjekke at S inneheld alle  etterføljarane sine. Med det meiner vi sjølsagt at kvart av tala i S har etterfølgjaren sin i S.

Vi kan seie dette slik: for alle tal a gjeld det at hvis a er i S, så er også a’ i S. Slik vil du mest sannsynleg sjå at det er formulert i elementære bøker. Men det er ikkje fordi denne formuleringa er meir elementær, men den fortel meir direkte kva du skal gjere.

Men du vil nok også truleg sjå ein annan ulikskap når du les elementærbøker. Kva det er hadde eg tenkt å føye til her, men eg gløymde det ut.

For det er slett ikkje sikket at dei har nemnd noko om mengder i det heile tatt. I staden for å seie at a ∈ S, så kan vi seie at a har ein viss eigenskap, nemleg den eigenskapen som er kriteriet på at a er i S.

Og i tillegg kan det godt hende at dei “startar med 1 og ikkje med 0”. Vi seier ikkje meir om det no. Vi kjem attende til desse tinga seinare når vi skal snakke om det logiske språket som vi nemnde før i dette innlegget.

4)
når vi her seier ‘velje ei mengd’, så meiner vi sjølsagt ikkje kva mengd som helst, men ei som gjer at vi kan lukkast med det vi vil vise og det vil vere at alle tal som er teljetal, er slik og slik.

I vårt tilfelle var det at når vi tek for oss eit tal, så er det anten 0 elle>r det er etterfølgjaren til eit tal. Sagt litt annleis, det gjeld for eitkvart tal at anten er det 0 eller så er det ein etterfølgjar. Denne mengda skriv vi altså {0} ∪ F, der F er mengda av alle tal som er etterfølgjarar.

5)
At eit tal er i {0} ∪ F tyder at det er i {0}, dvs talet er lik 0, eller det er i F, dvs talet er ein etterfølgjar.
Når vi dannar ei mengd A ∪ B ut frå ei mengd A og ei mengd B, så meiner vi den mengda der elementa er dei som er i A og B til saman. Det blir meir presist hvis vi seier at eit tal er i A ∪ B nett då når talet er i A eller talet er i B.
Merk då at når vi i matematikk nyttar ordet ‘eller’, så meiner vi det eine eller det andre eller begge delar.
Mengda A ∪ B kallar vi unionen av A og B.
Vi snakka og litt om dette i avsnittet før den gule innramminga i førre innlegg.

6)
Dette kjem vi tilbake til ein gong lenger framme i tida, når vi har kome oss ned frå det fjellet som vi no ei stund har vore i ferd med å forsere. Det viste seg å vere eit fjell med tett skog, men vi skal kome oss vidare og ned på slettelandet att. Men det skjer ikkje i morgon eller neste veke, men det skjer.

 FIG1      y-akse
             |
             |
 ... ---/----/----/----/----/----/----/----/-- ... p
             |
     --------*----/----/----/----/----/----/--... x-akse
             |    1    2    3    4    5    6  ...  

Gitt a vi har ei mengd A og ei mengd B. Når vi då skriv A ⊆ B, (A er ei delmengd av B), så meiner vi at kvart element som er med i A, også er med i B.
Til dømes om A = {6, 7, 8} og B = {6, 7, 8, 9}, så ser vi at A ⊆ B.
Men også om A = {6, 7, 8, 9}, altså A = B, så passar det å skrive A ⊆ B. For når A = B, då er jo også kvart element i A også med i B.
Derimot om vi får vite at A ⊂ B, altså A er ei ekte delmengd av B, Då kan vi aldri ha at A = B. For A ⊂ B tyder at kvart element i A også er med i B, og i tillegg, det finst minst eitt element i B som ikkje tilhøyrer A.
Ei lita øving til. Tenk deg at A ⊆ B, altså A er ei delmengd av B, men at det ikkje er tilfellet at A ⊂ B, med andre ord, A er ikkje ei ekte delmengd av B. Kan vi då ha at A=B?
Ja, vi kan, men ikkje berre det, då må vi ha at A = B.

fotnotar

1)
Igjen er det slik at avstanden mellom punkta her ikkje spelar nokon rolle. Vi kunne ha teikna punkta (eller markert dei) utan at avstanden mellom dei var dei same. Men når vi skal teikne noko, så må vi teikne noko, vi må gjere eit val. Og teikninga blir jo enklare å lage og meir harmonisk å sjå på om vi let avstanden mellom kvart punkt vere den same.Det som tel er at vi har gjort det klårt kva punkt som kjem etter kvart punkt.

2)
Når vi seier at ei mengd stettar pianoaksioma 1- 4, så tenkjer vi på det at elementa i mengda stettar 1- 4. For når du skal vere streng og ta ting nøye, så står det ingenting om ei mengd i desse fire første aksioma slik vi presenterte dei . Det står om tal. Så då byter vi berre ut ordet tal og teljetal med ordet element. Når vi då les eller skriv ‘element’, så er det ‘element i den mengda det er snakk om’.

3)
Hugs at symbolet a’ står for etterfølgjaren til a.

Vi fekk ei lita oppgåve i førre innlegg. Eigentleg høyrer ikkje ordet oppgåve heime i denne bloggen, så neste gong skal vi seie det på ein annan måte og gje det eit litt anna preg, slik vi har gjort før, og det skal vi fortsetje med.

Det saka dreidde seg om i oppgåva var å handtere omgrepa delmengd og mengd. Vi fekk opplysning om to mengder, den eine mengda blei kalla A og elementa i A var 1, 3 og 5. Den andre blei kalla B og elementa i denne var alle dei positive oddetala som var mindre enn 9. Dei positive oddetala 1*) som er mindre enn 9 er sjølsagt? 1, 3, 5, 7.

Så elementa i B er dei same som i A berre at B har talet 9 i tillegg. Men dette passar jo heilt med at A er ei delmengd av B. (Vi definerte delmengd på slutten av forrige innlegg, i sjølve oppgåva.)
Lat oss ta det i detalj:

(*)     1 ∈ A  og  1 ∈ B,  3 ∈ A  og  3 ∈ B,  5 ∈ A  og  5 ∈ B.

og fleire element enn 1, 3, 5 fins ikkje i A. Dermed ser vi i  (*) at alle elementa i A også er med i B. Men i tillegg så har B eitt element til, nemleg talet 9, (9 ∈ B). Altså A er ei delmengd av B, og som vi veit, så skriv dette slik: A ⊆ B 2*).

Kva har vi vener for? Jo, at dei kan hjelpe oss, og at vi kan hjelpe dei, om det trengs. Akkurat no vil vi gjere bruk av det. Kanskje du hugsar at i den første leksjonen så sa vi at mine vener er dine vener. No, når vi har tatt i bruk mengdeomgrepet, så kan vi uttrykkje dette matematisk.

For hvis A står for mine vener og B for dine, så blir utsegna “mine vener er dine vener” det same som å seie at A ⊆ B. Altså mengda av personar som er mine vener er ei delmengd av mengda av personar som er dine vener.

Vi kan også uttrykkje dette slik: “hvis ein person er min ven, så er denne personen også din ven”. Å seie det slik er kanskje den beste måten å definere delmengd på. Generelt blir då definisjonen slik:

Gitt ei mengd A og ei mengd B. Når vi då seier at A er ei delmengd av B så meiner vi dette:
Hvis a er eit element i A, (kva element i A som helst), så er også a eit element i B.

I den førre definisjonen sa vi det litt annleis. Då sa vi at A er ei delmengd av B, A ⊆ B, tyder at elementa i B er dei same som i A berre at B kan ha andre element i tillegg. Dette er kan hende raskare å oppfatte. Den nye definisjonen ovanfor er kanskje meir detaljert. Du går der meir inn i detaljane og tenkjer på eit og eit elelemnt i A, om det også er med i B.

Kva som er best å bruke er nok avhengig av korleis mengdene A og B er definerte.

Men la oss sjå på ein annan likefram måte å formulere det på.
Når vi seier at ei mengd A er ei delmeng av ei mengd B, så meiner vi at kvart element i A også er eit element i B.

Vi tar venedømet på nytt. Når eg seier at kvar ven som eg har også er ein ven som du har, så betyr dette matematisk at A ⊆ B, der A står for (mengda av) mine vener og B står for (rmengda) av dine vener.

Før vi ser på neste spørsmål, så vil vi seie litt om korleis vi kan skrive ei mengd. Vi har faste måtar å skrive tal på. Nokre tal har heilt eigne symbol som vi berre må lære. Korleis kan vi vite at talet 9 er talet ni utan å lære oss dette talet spesielt? Det kan vi ikkje. Men vi kan vite kva 23 tyder utan å hugse dette talet særskilt. Vi skriv talet tjuetre slik vi her gjer ved å følgje eit system.

Slik fins det og standard måtar å skrive mengder på. Det vi hittil har gjort når vi skulle definere ei mengd eller, om du vil, fortelje kva for mengd vi tenkte på, så gjorde vi det på to måtar. Den eine var at vi gav ei skildring av korleis elementa i mengda var, og den andre måten var at vi lista opp kva for element som høyrde heime i mengda.

Sett at eg tenkjer på ei mengd A der elementa er primtala mellom 0 og 10. Då kan vi skrive sjølve mengda slik:

(**)     A = {alle primtal mellom 0 og 10}

Parentesen i (**) som startar med  ‘{‘ og sluttar med ‘}’ kallar vi ein mengdeparentes. Og det vi har gjort i (**) er  altså å skrive memgda A ved å omslutte skildringa av mengda med ein mengdeparentes. Vi les (**) slik: A er lik mengda av alle primtala mellom 0 og 10

Den andre måten å skrive ei mengd på er å liste opp elementa med komma mellom og omslutte denne lista med ein krøllparentes, (altså mengdeparentes). Det kan vi gjere hvis vi kjenner elementa og hvis dei ikkje er for mange. Elementa i A i (**) er desse: 2, 3, 5 og 7. Dermed kan vi skrive:

(***)    A = {2, 3, 5, 7}

Ei slik liste kan lett bli for lang til at det blir plass til å skrive henne. Då fins det måtar å  gjere lista kortare 3*) på.

Skildringa av mengda A i (**)  var skriven ved å bruke naturleg språk, her norsk. Om vi brukar matematisk eller logisk språk, så blir det kortare og meir presist. Men det kan bli vanskelegare å lese, for då kjem det rimelegvis formlar inn i formuleringa. Det bryr vi oss ikkje med her og no.

Dette innlegget hadde vi planlagt å skrive i to delar, Del1 og Del2. Men sidan det ikkje blir plass til Del2, så let vi Del2 bli neste innlegg. Dermed får vi plass til å nemne ein tredje måte å skrive ei mengd på. Det fins ein tilsvarande måte å skrive eit tal på, så det tek vi først.

Ein måte å skrive eit tal på er rett og slett å ikkje skrive talet. Korleis heng det i hop? Jo, tenk deg at du spør ein lærar, kor mange elevar er det i klassen din? Ho, svarar, det er 15 gutar og 16 jenter. Javel seier du, det er altså 15+16 elevar.

Poenget er altså at vi oppgir eit tal ved å gi eit reknestykke. Vi kan gjere tilsvarande med mengder. Vi kan få ei mengd ved å slå to mengder i hop. Det kan nokre gongar vere praktisk, for å sleppe å gi ei meir omfattande skildring av mengda vi er ute etter.

Eksempelvis, la B ={alle tal i tregongen}. Så definerer vi mengda  A = {1, 2} ∪ B.  Her er ‘∪’ teiknet for å slå i hop to mengder. Det kallast å ta unionen av to mengder og elementa i den mengda vi då får er alle dei elementa som vi i alt finn i dei to mengdene til saman. Eit raskt døme: {1, 2, 3} ∪ {2, 4} = {1, 2, 3, 4}.
Mengda vi får kallast unionen av dei to andre. Dette liknar på det å ta summen av to tal, der talet vi får kallast summen av dei to tala. Men det er og forskjellar 4*)”.

Så over til neste problem. Vi hadde A = {1, 3, 5} og C = {alle positive oddetal mindre enn 7}. Kvifor får vi då at A ⊆ C? Jo, fordi kvart element i A også er eit element i C. Stemmer det? Vi ser på elementa i A etter tur, og sjekkar dei opp mot skildringa av C. Det blir slik:

1 er i A og 1 er eit postivt oddetal mindre enn 7, altså 1 er også i C
3 er i A og 3 er eit postivt oddetal mindre enn 7, altså 3 er også i C
5 er i A og 5 er eit postivt oddetal mindre enn 7, altså 5 er også i C

Fleire element enn 1, 3, 5 fins ikkje i A, altså alle element i A er også element i C, med andre ord A ⊆ C.

Men vi har og at C ⊆ A. Stemmer det? Den raskaste måten å vise at dette stemmer på, er å merkje seg  at C = A. Og dermed er det ganske klårt at kvart element i C også er i A, for når C er lik A så har dei dei same elementa. Men det at kvart element i C også er element i A er nett det det tyder at C ⊆ A.

Dette er kan hende den mest intelligente måten å sjå det på. Men om vi vil øve oss litt på å analysere og tenkje systematisk så kunne vi tatt utgangspunkt i skildringa av C og så ut frå det sjekke om kravet i definisjonen på at C ⊆ A er oppfylt.

C består av alle dei positive oddetala mindre enn 7. Det første talet som er positivt er 1. Er 1 eit oddetal? Ja. Er også 1 mindre enn 7? Svaret er ja. Men då er 1 element i C og 1 er også element i A.

Det neste positive talet etter 1 er 2. Er 2 eit oddetal? Svaret er nei. Så 2 er ikkje med i C. Vi går vidare. Neste tal er 3. Det er eit oddetal og 3 er mindre enn 7. Altså, 3 er element i C, og 3 er også element i A. Etter 3 kjem 4, men 4 er ikkje eit oddetal. Etter 4 kjem 5 og 5 er eit oddetal og 5 er mindre enn 7. Dermed får vi 5 er med i C og 5 er også med i A. Etter 5 kjem 6, men 6 er ikkje eit oddetal, så 6 er ikkje med i C. Fleire tal mindre ein 7 fins ikkje i C. Så no har vi sjekka alle elementa i C og funne at dei også er med i A. Med andre ord C er ei delmengd av A, C ⊆ A.

Den siste problemstillinga blei lagt fram som ei utfordring, og utfordringa var nok større enn eg hadde trudd. For det var ein skrivefeil i teksten, noko mangla. Det har eg lagt til sidan. Det som sto var ikkje mogeleg å vise, for det var jo ein usann påstand.

Vi skulle vise to ting. Det eine var dette: hvis du veit om ei mengd A og ei mengd B at A ⊆ B og at B ⊆ A, så er A = B. For å hjelpe oss å tenkje litt lettare, så gjer vi det litt personleg. Eg tenkjer meg at mengda A er mi mengd  og at vi difor har at elementa i A er mine element. Elementa i B kallar eg då dine element.

Då fortel utsegna A ⊆ B åleine at mine element også er dine element, men det kan hende at du har andre element i tillegg. Men du har ikkje andre element i tillegg til mine, for B ⊆ A fortel at alle dine element også er mine. Så dermed ser vi at dei to utsegnene  A ⊆ B og B ⊆ A til saman seier at mine og dine element er dei same, altså A = B.

Den andre tingen vi skulle vise var at det er berre når A ⊆ B og B ⊆ A at A = B. Så difor spør vi, når A = B, vil vi då ha at A ⊆ B og B ⊆ A? Ja, opplagt for hvis A = B, så har jo eg og du dei same elementa, og då blir det også rett å seie at mine element også er dine. Men dette siste er jo det same som å seie at A ⊆ B. Og ein gong til, når A = B, så er sjølsagt også B = A, altså du og eg har dei same elementa. Dermed blir det rett å seie at dine element også er mine, dvs B ⊆ A. Så i  alt, når A = B, så har vi både at A ⊆ B og B ⊆ A.

SLUTTORD. Ei delmengd er enkelt sagt ein del av ei mengd. Når vi då seier del av, så kan denne delen også vere heile mengda. Det er eit slags grensetilfelle. For når du først høyrer ordet delmengd og får vite at det er ein del av ei mengd, så vil du tenkje at, ja nettopp, at det er ein del og ikkje det heile. I dette tilfelle seier vi og at vi har ei ekte delmengd.

At A er ei ekte delmengd av B skrivst slik, A ⊂ B. Vi nyttar det same teiknet som når A er ei delmengd, berre at vi ikkje tek med den litle streken nedst på undersida av ⊂.

Men merk om du les ei bok som ikkje er heilt nyskriven, så kan du finne at teiknet for ei ekte delmengd, ⊂, slik vi har forklart det, blir brukt slik vi har forklart teiknet ⊆. Så når du les uttrykkjet A ⊂ B i ei slik bok , så er ikkje tilfellet  A = B utelukka. Om det då er slik at A = B i den saka vi held på med, så kan du gje ein ekstra merknad om dette hvis det skulle trengast.

Det finst eit døme på ei mengd som vi ikkje har nemnd så langt og som vi absolutt burde nemne. Det er ei mengd som er slik at vi ikkje kan liste opp elementa i mengda, og det er ikkje fordi det er så mange element, men fordi denne mengda ikkje inneheld nokon element i det heile. Men vi kan gje ei skildring av ei slik mengd. Eit døme er mengda av alle tal som er ulike seg sjøl, altså denne mengda:
{alle tal som er ulike seg sjøl}
Kva for tal er slik at dei ikkje er like seg sjøl? Ja, rett, det fins ikkje nokon slike tal. Ei slik mengd har altså ingen element og vi seier at ho er tom. Sidan det ikkje fins element i denne mengda, så kunne vi skrive henne slik: {}, ein tom mengdeparentes.Men det fins eit eige symbol som er dette: ∅, og den tome mengda er like viktig for mengder som talet 0 er for tal. Og det fins berre ei tom mengd. Dette kan vere litt overraskande kanskje, men meir vil eg ikkje seie no.

Vi vil understreke ein siste ting . Det er ikkje slik at elementa i ei mengd ikkje sjøl kan vere mengder. Vi har gitt eit lite døme på det einkvan staden, i forbifarten. Men det er lett at den oppfatninga kan snike seg inn, at elementa i ei mengd ikkje kan vere mengder, endå det ikkje blir sagt noko om at slik er det. For dei fleste døma på mengder som vi har hatt, er ikkje slik at nokon av elementa i dei er mengder.

ETTERORD. Det kan sjå ut som vi i det førre innlegget definerte kva ei mengd er, og det gjorde vi på sett og vis. Det er vanleg å seie at ei mengd er ei samling av objekt, og dette skreiv vi og. Men dette er ikkje ein matematisk definisjon. For kva er ei samling, matematisk sett? Det har vi ikkje sagt noko om og kan ikkje heller. Det vi har gjort er å peike på omgrepet mengd, eller gje oss ei viss forståing av omgrepet.Å definere ei mengd matematisk kan vi gjere slik som vi definerte teljetala matematisk. Vi definerer då indirekte ved å liste opp eigenskapane som mengder eller tal skal ha, eit minste sett med eigenskapar. Det vil seie vi stiller opp eit sett med aksiomar.

På den måten får vi sagt korleis mengder eller tal ter seg, ikkje kva dei er. Dette programmet held vi framleis på med når det gjeld tala. Vi sette opp Peanos aksiomar for dei naturlege tala, (teljetala), men vi har enno ikkje studert kva det siste aksiomet fortel oss.

Aksiomar for mengder kjem ikkje på dagsorden før vi har blitt meir vane med å omgåast dei, kva tid er det ingen som veit.

fotnotar

1)
Oddetala er dei heiltala som ikkje kan delast på 2. Dei positive oddetala er då dei du får ved å starte med 1 og så telje to om gongen, 1, 3, 5, 7, 9, 11, osb. Dei tala vi kallar for heiltal eller heile tal, er teljetala og dei tilsvarande negative tala, altså for det første 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,  …  og dessutan -1, -2, -3, -4, -5, …

2)
Her ser du at teiknet ⊆ liknar på ulikheitsteiknet ≤. Når vi for eit tal a og eit tal b har at a ≤ b, så seier vi med det at talet a er mindre enn talet b eller eventuelt at a = b. Til dømes, 2 ≤ 3, 4 ≤ 5, men også 2 ≤ 2, 4 ≤ 4. Når ei mengd A er ei delmengd av B, så skriv vi det slik: A ⊆ B. Det kan då hende at A = B, men det treng ikkje vere slik. Det “normale” er nok at når A ⊆ B, så fins det eit element i B som ikkje er i A. Då seier vi at A er ei ekte delmengde av B. Døme: {1, 2} ⊆ {0, 1, 2}, men også {1, 2} ⊆ {1, 2}.

3)
Om du var interessert i mengda av alle tal i tregongen, og du ville definere denne mengda ved å liste opp alle elementa, så ville du får 10 tal. Det er ikkje sikkert at dette ville bli ei for lang liste, men vi kan ialle fall gjere henne kortare.

Oppgåve.
Når du har ei mengd A og ei mengd B og elementa i B er dei same som i A berre at det eventuelt også er andre element i B enn dei i A, så seier vi at A er ei delmengd (eller undermengd) av B, og vi skriv det slik: A ⊆ B.

Om A har 1, 3, 5 som element og B sine element er alle dei positive oddetala som er mindre enn 9, så gjeld det at A ⊆ B. Lat så C vere mengda som har alle dei positive oddetala mindre enn 7 som sine element. Då gjeld det at A ⊆ C og at  C ⊆ A. Sjekk at dette er rett.

Så ei lita utfordring. Om A og B er to mengder, så har vi at A = B hvis både A ⊆ B og B ⊆ A og berre då. Om du klarte dei to siste reknestykka i avsnittet ovanfor, så har du vore inne på dei tankane som kan hjelpe deg å finne svar på dette.

fotnotar

1) vi har nemnd det ein gong før. Dei tala som kallast dei naturlege tal kan enten vere tala 1, 2, 3, 4, 5 … eller det kan vere 0, 1, 2, 3, 4, 5, … Når vi i denne bloggen talar om dei naturlege tal, så er 0 med.

2) Vi repeterar raskt for dei som ikkje hugsar i farten. Eit partal er eit tal som kan delast på 2. Talet 8 kan delast på 2 og vi får 4. Men 9 kan ikkje delast på 2. Dvs vi kan, men då får vi ein rest. Partal kallast og like tal.

3) I dette avsnittet skreiv vi nokre stader null med liten N og Null med stor n. At vi slik skriv null snart med liten og snart med stor n, kan tyde på at vi ikkje kan bestemme oss for om null er eit eigennamn eller ikkje. Og det kan til dels stemme. Eigentleg er null i vår samanheng eit eigennamn, slik som Ole, Per osb. Det same gjeld symbolet 0, men i matematikk skriv vi ikkje symbol som står for eigennamn med stor bokstav og dei andre med liten. For symbola er jo heller ikkje bokstavar alltid.

DEL1. Når a er eit tal, kva blir då a+0? Det veit sjølsagt alle, dei fleste utan å tenkje seg om. Svaret er: a+0 = a. Når vi legg 0 til eit tal, så får vi tilbake det talet vi hadde.På slutten av det førre innlegget hadde vi eit spørsmål om a+0. Vi spurte kvifor må vi ha a+0 = a. Det er eit anna spørsmål enn kva tal a+0 er lik. Når vi får dette spørsmålet bardus på, så verkar det litt merkeleg. Men det var stilt i ein bestemt samanheng.

Det vi heldt på med, var å bli kjende med dei 5 eigenskapane som kjenneteiknar teljetala og spesielt å beskrive korleis vi ut frå desse 5 kjenneteikna eller eigenskapane kunne setje opp ein formel for kva det vil seie å addere to tal, så det er sikkert no på tide at vi samlar dei 5 punkta i ei eiga liste. Vi har gjort det i dette innlegget og du finn dei på slutten av innlegget.

Den første addisjonsformelen vi fann fram til var a+1=a’. Når du skal addere 1 til eit tal, kva blir det? Jo, det blir lik etterfølgjaren til talet. Frå før av veit vi frå punkt 2 av Peanos sine punkt at kvart tal har ein etterfølgjar, og dermed har formelen a+1=a’ meining ut ut frå dei 5 punkta 1).

Dinest skreiv vi opp formelen a+b = (a+c)’ der b=c’ og at denne gjeld for alle teljetal a, b berre ikkje for b=0. For hvis b=0, så fins det ikkje noko tal c som har b som etterfølgjar. Punkt 4 av Peanos sine punkt seier at ikkje noko tal har 0 som etterfølgjar. Dermed har vi ei grunngjeving for dette ut frå dei 5 punkta.

Til sist nemde vi at når b=1, så er det kanskje eit problem med formelen då og. For når b=1, og vi har b = c’, så blir c=0. Dermed får vi at a+1 = (a+0)’.

Og så lenge vi ikkje har definert a+0 etter det nye opplegget vårt, altså at a+0 har meining, så seier dette heller ikkje noko om a+1. Men det gjer for såvidt ikkje noko, for vi kan jo berre seie at vi ikkje vil bruke a+b = (a+c)’ når b=1. Vi har jo likevel ein formel for a+1 frå før av, a+1=a’.

Men vi vil gjerne halde på a+b = (a+c)’ med b = c’ også når b=1. For då får vi eit meir heilt opplegg. Og om vi då definerer a+0 = a, slik vi er vane med, så vil dette passe med at a+1 = a’.

For nemleg, når  a+0 = a, så blir (a+0)’  =  a’ og dermed seier formelen a+1 = (a+0)’ at  a+1 = a’ som er det same resultatet som vi hadde frå før.

Men dette er ikkje svar på spørsmålet. For det var, kvifor må vi velje å definere a+0 = a? Jo, det er fordi vi elles kjem i konflikt med punkt 3, at to tal ikkje kan ha same etterfølgjar. For anta at det fins eit tal a slik at a+0 ≠ a 2). Når vi då samlar fakta, så ser vi at vi har.

(1)  a+1 = a’, altså a+1 er etterfølgjaren til a

(2)  a+1 = (a+0)’ altså a+1 er etterfølgjaren til a+0

(3)  a og a+0 er to ulike tal

Vi ser då at dei to tala a og a+0 har same etterfølgjar, men det går ikkje, ifølgje punkt 3, at to tal kan ha same etterfølgjar. Så derfor må vi ha at a+0 = a for alle (telje)tal a, det fins ikkje noko unntak.

Vi ser her eit døme på det vi nemde ganske tidleg, at matematikk er fri fantasi sett i system slik at vi ikkje har nokon logisk brist i det. Vi kan ikkje ha det slik at noko er både slik og ikkje slik. Så vi kan ikkje ha at punkt 3 både er oppfylt og ikkje oppfylt. Og det er nettopp det vi får dersom vi skulle ha at a+0 ≠ a for eit eller anna tal a. På den eine sida har vi då

(A)  det fins ikkje to tal som har den same etterfølgjaren
(Dette er ein liten omskriving av punkt 3, med den same tydinga.)

og på den ande sida så vi at når det fanst eit tal a slik at a+0 ≠ a, så fekk vi at

(B)  det fins to tal som har den same etterfølgjaren.
Vi fann jo nemleg at både a og a+0 hadde den same etterfølgjaren.

Men når vi no har vore gjennom dette, så ser vi kanskje at vi kunne ha vore meir effektive. For vi kunne ha starta med at a+0 = a og ikkje at a+1 = a’. Om vi så i neste omgang hadde sett opp definisjonen a+b = (a+c)’ med b=c’ og b ≠ 0, så hadde vi fått som resultat at a+1 = a’ og ikkje som ein definisjon. Og såleis hadde vi sloppe å hanskast med det som vi no gjekk gjennom. Vi hadde fått ein meir strømlinja teori.For når vi sette opp a+1 = a’ som ein definisjon, samstundes som vi ikkje hadde definert a+0, så blei det litt kollisjon med den generelle formelen a+b = (a+c)’.

Vi gjorde dette av to grunnar, den eine at eg følte det meir naturleg å starte med det å få fleire, når vi faktisk fekk noko og den andre var for å gje oss øving i å møte ein situasjon med ei sjølmotseing 3).

DEL2. Det vi har prøvd på så langt i dei innlegga vi har hatt, er å pensa tankane inn på ei avgjerande side ved matematikk, og vi har nytta teljetala som eksempel. Men teljetala er ikkje berre eit eksempel i så måte, dei har eit grunnleggjande verd, for det meste i matematikk byggjer på desse tala eller tala kjem inn som ei viktig side eller hjelpemiddel i mange system.Det vi tenkjer på er at når vi skal lage ein matematisk teori for noko, så kan vi starte med eit sett med aksiomar.

Eit aksiom er ei utsegn eller ei setning som fortel noko om det vi vil studere. Men eit aksiom er ikkje berre ei setning, det er det og, men det er ei setning i ein bestemt samanheng og med eit bestemt formål.

Når vi set opp eit sett med aksiomar, så er det for å fortelje kva vi kan eller vil ta som grunnlag for ein teori. Vi studerer no teljetala og for å fortelje kva vi då kan ta som grunnlag så har vi Peanos aksiomar, 5 i talet. Det er dei vi har brukt i dette innlegget og tidlegare.

Dei blir og kalla for Dedekind-Peanos askiomar. Dedekind er og ein matematikar og var først med å ta i bruk ein slik måte å innføra teljetala på.

Denne måten å jobbe med matematikk på blir eit tema i neste innlegg. Men før vi avsluttar så listar vi opp Peanos aksiomar.

Liste over Peanos aksiomar

1. 0 er eit (telje)tal
2. kvart tal har ein og berre ein etterfølgjar som og er eit tal
3. to tal kan ikkje ha den same etterfølgjaren
4. 0 er ikkje etterfølgjar til noko tal
5. (telje)tala utgjer den minst omfattande talmengda som har eigenskapane i 1, 2, 3 og 4.

Her har vi også gitt punkt 5 ei formulering. Men kva som ligg i det må vi snakke meir om.

fotnotar

1) vi har berre nytta eitt punkt, men då blir det også rett å seie at vi har nytta dei 5 punkta.

2) Å skrive a+0 ≠ 0 betyr at a+0 er ulik a. Teiknet ≠ tyde ulik.

3) i logikk kallar vi ei utsegn som seier ‘at’ og ‘ikkje at’ for ei sjølmotseiing. Eit døme: 2 er eit positivt tal OG 2 er ikkje eit posirivt tal.

Og det som er naturleg veit vi er å setje a+0 = a  Men noko anna val enn det har vi ikkje, for ting må hengje i hop. Kvifor er det slik at vi må setje a+0 = a som definisjon? Tenk på det sjøl til neste innlegg kjem.

fotnotar
1) når vi adderer to tal, så kallar vi dei to tala i summen for ledd. (Når vi multipliserer to tal, så kallar  vi dei to tala i produktet for faktorar.)

2) merk, når vi her reknar ut 5+1, så har vi nytta det vi hadde frå før, at a+1 = a’. Altså vi brukte ikkje (*) med b = 1. Om du kom i stuss over dette og tenkjer at vi har gjort ein feil, så har vi ikkje gjort det. Vi tek opp dette punktet på slutten av dette innlegget.

3) Når vi seier at eit tal er vilkårleg, så meiner vi at talet kan vere kva tal som helst.

4) Vi veit sjølsagt frå før kva a+0 er lik, og vi kan grunngi det ved eit resonnement omkring det ikkje å få meir, slik at det talet ting vi har er uendra. Ein person seier at han vil gi oss noko, men han berre lest som har gjer det.

Men situasjonen for oss no er at vi startar på nytt, berre med dei 5 punkta som fortel om eigenskapane til teljetala.

På slutten av forrige leksjon fekk vi ei utfordring. Korleis vi kan vite at når a er eit teljetal, så kan vi skrive:

(*)     a+1 = a’    der a er kva (telje)tal som helst

Altså, når vi legg 1 til eit tal a, så får vi det neste talet, det som kjem etter a. Kvifor er det slik? Å svare kan vere vanskeleg fordi det på sett og vis er ein del av oss. Men om vi seier, “det er jo heilt opplagt at det er slik”, så har vi korkje svart eller forklart. Det var jo difor vi kunne skrive som vi gjorde i dei førre blogginnlegga, altså fordi desse tinga var heilt opplagte for oss.

Husk, skal vi forklare noko, så må vi ha noko å forklare med. Vi må ha eit utgangspunkt. Og når dette ikkje er klart, så vil vi søkje i blinde og kjem ingen veg. Men kva er så utgangspunktet vårt? Då vi stilte problemet, så sa vi ikkje noko om det. Så reint praktisk sett, så blir det og ein del av problemet. Men det eg tenkte og håpa på, var at det skulle gå fram av det eg har skrive, at vi startar med at vi kan telje. Vi byggjer på at vi kan telje.

La oss tenkje på ein enkel situasjon. Per kjem inn i stova med ei skål med frukt. Det er 6 frukter i skåla. Korleis skal du finne ut kor mange frukter det er i skåla? Jo, du tel dei. Så kjem Anne inn like etter og seier, “du gløymde denne bananen”, og så legg ho bananen oppi skåla saman med dei andre fruktene. Kor mange frukter er det no i skåla? Du tel dei, og når du no har talt så langt som til 6, så er det ei frukt til som må teljast. Du tel altså så langt som til talet etter 6. Talet på frukter er altså 6′ = 7.

Dette kan vi gjengi matematisk slik: (1) Det å leggje ei frukt til dei 6 som var i skåla, skriv vi 6+1. Det er ein operasjon. (2) Resultatet blei at det nye talet på frukter blei 6′, (som er lik 7). (3) I alt får vi då at  6+1 = 6′ , for med 6+1 skal vi meine talet på frukter etter at det kom ei frukt meir i skåla.

Denne situasjonen er så enkel og oversiktleg at du lett kan tenkje deg at skåla inneheld a frukter. Altså vi spesifiserer ikkje kor mange frukter det er i skåla. Vi nyttar berre bokstaven a til å symbolisere talet. (Kor mange det er finn du ut ved å telje. Tenk deg at du hat talt, men så gløymde du det ut med det same). Etter at det så har kome ei frukt til i skåla og du (tenkjer deg at du) tel på nytt, så er det ei frukt att å telje når du har talt til a frukter. I alt tel du altså no a’ frukter.

Då får vi altså at a+1= a’. Tankegongen er som i stad, berre at vi i staden for at det var 6 frukter i skåla, no tenkjer oss at det er a frukter, eit uspesifisert tal. Så når vi no skriv a+1, så er dette uttrykk for at vi har lagt ei frukt til i skåla. Talet vi får er det same som a’, det vi talte til etter at ei frukt til blei lagt oppi.

Når vi då skriv a+1 så meiner vi altså det talet som kjem etter a, vi meiner a’. Så matematisk sett så er svaret på kvifor a+1 = a’, at det er slik a+1 er definert. Vi har altså ein definisjon.

Å definere noko tyder å seie kva vi meiner med det vi seier at vi definerer. Sjølve ordet definere tyder å avgrense. Når vi definerer noko, så avgrensar vi kva meininga er med det ordet vi vil definere. I matematikk er dette utan problem for der har vi berre klare omgrep. Vi kjem tilbake til dette seinare, korleis vi skriv matematikk som matematikk.

Det er no på tide å kome lenger enn berre å rekne ut a+1. Men når vi skal rekne ut a+2, a+3 osb, så byggjer vi framleis  på idéen som vi nytta då vi definert a+1 som a’.
Vi veit no at a+1 = a’. Når vi så skal rekne ut a+2, så skjønar vi at det berre er å telje ein vidare frå talet a+1. Vi skjønar altså at vi må ha a+2 = (a+1)’. Heile tida, etter kvart som vi skal rekne ut a+3, a+4, a+5, osb, så tel vi berre ein vidare enn det vi hadde like før.Altså a+2 er det talet som er etterfølgjaren til a+1, a+3 er det talet som er etterfølgjaren til a+2, osb. Vi får:(**)    a+2=(a+1)’

Men a+1 = a’. Til saman får vi då: a+2 = (a’)’. For vi kan bytte ut a+1 i (**)  med a’. (For a+1 og a’ er jo eit og same tal). Vi får altså at a+2 må vere lik etterfølgjaren til etterføljgaren til a. Det tyder at når vi har a, så tel vi to vidare for å få a+2. Dette er ein annan måte å sjå på a+2 på. Vi noterer det vi her fann ut.

(***)  a+2 = (a’)’

Men vi kan leike oss meir med symbola våre. Hvis vi nyttar formelen i (*) to gongar i samband med (**) og  (***), så får vi:

(****)  a+2 = (a+1)+1

fordi først set vi a+2=(a+1)’ som i (**). Men etter det (*) seier, så er (a+1)’ = (a+1)+1, fordi talet a i (*) kan vere kva tal som helst, altså også a+1. Så om vi byter ut a i (*) med a+1, så får vi (a+1)+1 = (a+1)’, og byter vi så om venstre og høgre side av likskapsteiknet her, så ser vi at (a+1)’ = (a+1)+1. 1)

Formelen (****) fortel då at å leggje til 2 er det same som å leggje til 1 og så leggje til 1 igjen til det vi først fekk.

Men no må vi stagge oss litt før vi går vidare. Korleis veit vi eigentleg at a+2 = (a+1)’. Kven har fortalt oss det? Det er vi sjølve som har fortalt oss det. Vi meiner at slik må det vere og er overtydd om det. Men veit vi det? Skal vi vite at det er rett, så må det vere matematikken som har fortalt oss det.

Men det gjer han ikkje 2). Så om vi vil at det skal vere slik at (**) er rett, så må vi seie til matematikken at slik vil vi ha det. Vi lagar altså ein definisjon.

Greitt. Då definerer vi det slik at a+2 = (a+1)’. Men vi vil også ha på plass at a+3 = (a+2)’. For det meiner vi og er rett. Men sidan vi ikkje har denne formelen frå før i den matematikken vi har bygd opp så langt, så lagar vi ein definisjon til som seier at a+3 = (a+2)’.
Men så vil vi gjerne kunne rekne ut a+4, så då treng vi å definere a+4, og vi gjer det slik som dette a+4 = (a+3)’, osb. Men vi kan ikkje fortsetje i det uendelege. Så kva gjer vi då? Jo, vi uttrykkjer det generelt. Men det gjer vi ikkje her, vi gjer det i neste leksjon.

fotnotar

1)  for å følgje med når vi sjonglerer med formlar slik så treng vi ein del øving. I bloggen så langt har vi ikkje prøvd å leggje til rette for det. Og du kan gjerne hoppe over denne vesle passusen.

2)  utgangspunktet vårt no er teljetala og dei eigenskapane dei har, (sjå siste del av supplement for leksjon 2), samt at vi har definert a+1 som a’. Men uttrykkjet a+2 eksisterer endå ikkje i det matematiske systemet vårt.

DEL1. Vi spurte på slutten av leksjon 2, om det finst eit tal som ikkje er etterfølgjaren til noko tal.
Men det må jo tyde at det ikkje fins noko tal framfor dette talet, altså framfor det talet som vi her spør etter. For alle tal som er etterfølgjarar har jo eit tal framfor seg, nemleg det som det er etterfølgjaren til.Rimelegvis har du funne ut kva løysinga er. Talet 0 er ei løysing, for 0 har ikkje noko tal framfor seg. Om vi listar opp teljetala (for det er teljetala vi no tenkjer på), 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 … osb, så vil du sjå at 0 er eit svar. Du ser og at det er det einaste svaret. Det er berre 0 som ikkje ha noko tal framfor seg. Alle andre tal har eit tal framfor seg.

Om du ikkje ser løysinga på eit problem straks, så skal du ikkje febrilsk prøve å finne løysinga. Du skal slappe av og ta deg tid til tenkje litt fram og tilbake på situasjonen utan å presse deg til å finne svaret.
Du må altså gjere deg kjent med situasjonen på ein avslappa måte, for då aukar sjansane for at du finn ut av det.

Men korleis kan vi vite at det ikkje er noko tal (teljetal) framfor 0, og at alle dei andre teljetala ligg etter 0? Dette er same slags spørsmål som vi stilte for litt sidan, i starten på leksjon 2, om korleis vi veit at det kjem eit tal etter 3?

Ja, korleis veit vi desse tinga? Svaret er det same 1) som den gongen. Tala har blitt laga slik.
Det tyder sjølsagt ikkje at einkvan sat seg ned og sa: “no skal vi lage teljetala”, og så laga dei tala 2). Det er nok heller slik at ein etter kvart blei klår over at å telje slik vi er vane med, var ein god ide.

DEL2. Og vi kan desse tala så godt at vi ikkje tenkjer direkte over kva for eigenskapar dei har.
Men hvis einkvan seier noko om tala som er feil og som har med dei grunnleggjande eigenskapane å gjere, så vil vi sikkert raskt oppdage det.Til dømes, ein raring seier til deg. Høyr, alle veit at 6 er etterfølgjaren til 5, men eg veit om eit anna tal som 6 og er etterfølgjaren til. Då spør du, kva for eit tal er det? Det har eg aldri høyrt om. Då svarar han: Det er talet fam. Etter fem kjem seks, men vi har også at etter fam kjem seks.

Då vil du kan hende seie til han, ja men to tal kan ikkje ha same etterfølgjar.

Her har vi ein grunnleggjande eigenskap som teljetala har, det er ein eigenskap som vi før ikkje har nemnd direkte. Frå før har vi vore innom tre eigenskapar. Vi repeterer dei no her og gjer dei tydelege. Å lage formuleringar som uttrykkjer det vi elles berre tenkjer, er med på å styrkje dei matematiske musklane våre.

Vi starta ut med talet 0 i første leksjon. Så når vi skal prøve å fortelje med klare formuleringar korleis teljetala er, så kan vi begynne med å seie: det fins eit spesielt tal som vi kallar null og skriv 0.

Men det fins jo fleire tal og dei kjem etter kvarandre. Dette kan vi formulere ved å nytte tanken om at kvart tal har ein og berre ein etterfølgjar, og denne etterfølgjaren er også eit tal.

No er vi godt i gang med å fortelje kva for eigenskapar teljetala har. Vi manglar no berre to ting for å seie alt som trengs for å ha kontroll på korleis teljetala er ordna.

Den nest siste eiganskapen vi vil nemne, finn du i byrjinga av dette innlegget. Talet 0 er ikkje etterfølgjar til noko tal.

Og talet 0 er og det einaste talet som ikkje er nokon etterfølgjar. Dette var vi og inne på heilt til å begynne med i dette innlegget. Dermed er det naturlig å seie at 0 er det første talet og at alle dei andre tala kjem seinare. Men det er ikkje dette vi vil setje opp som den siste eigenskapen.

Det fins ein eigenskap som har som konsekvens at 0 er det einaste talet som ikkje er ein etterfølgjar og at dei andre tala kjem etter som i ein hale. Men dette er noko som vi må vente med til seinare, for det blir på sett og vis noko heilt nytt å bryne tankane våre på, så det er sikkert best å la det liggje.

fotnotar

1) Vi sa ikkje då direkte kvifor vi visste at det kom eit tal etter 3. Vi snakka berre rundt det for å lokke fram ei forståing.

2) tenk og på dette; Om du seier, no set eg meg ned og lagar teljetala, då visste du jo på førehand at det var noko som var teljetal.